Вернутся на главную

Экзаменационный билет № 20


Экзаменационный билет № 20 на нашем сайте

Статьи
Статьи для студентов
Статьи для учеников
Научные статьи
Образовательные статьи Статьи для учителей
Домашние задания
Домашние задания для школьников
Домашние задания с решениями Задания с решениями
Задания для студентов
Методички
Методические пособия
Методички для студентов
Методички для преподавателей
Новые учебные работы
Учебные работы
Доклады
Студенческие доклады
Научные доклады
Школьные доклады
Рефераты
Рефератывные работы
Школьные рефераты
Доклады учителей
Учебные документы
Разные образовательные материалы Разные научные материалы
Разные познавательные материалы
Шпаргалки
Шпаргалки для студентов
Шпаргалки для учеников
Другое

1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Приведение уравнений с постоянными коэффициентами к каноническому виду.

2. Неравенство Чебышёва (с доказательством).

3. Найти потенциал в центре квадрата со стороной , если на трёх сторонах квадрата потенциал равен нулю, а на четвертой стороне задается формулой

.

4. Масса пойманной рыбы подчинена нормальному закону с параметрами г, г. Найти вероятность того, что масса пойманной рыбы будет от 300 г до 425 г.

1. Для уравнения второго порядка от двух независимых переменных

принята такая классификация:

- если в некоторой области , то уравнение называется гиперболическим в ;

- если в области , то уравнение называется эллиптическим в ;

- если во всех точках области , то уравнение называется параболическим в .

В каждом классе уравнений есть простейшие уравнения, которые называются каноническими.

Уравнения

,

называют соответственно первой и второй каноническими формами гиперболического уравнения.

Уравнение

называется канонической формой эллиптического уравнения.

Уравнение

называется канонической формой параболического уравнения.

Дифференциальные уравнения

или

(если )

называются дифференциальными уравнениями характеристик.

Если в уравнении постоянные коэффициенты, т.е. для уравнения

,

решением уравнений характеристик есть

Если уравнение гиперболического типа ( ), то с помощью замены переменных

,

уравнение сводится к первой канонической форме.

Для уравнения эллиптического типа ( ) к канонической форме сводит замена

, .

Для уравнения параболического типа ( ) к канонической форме сводит замена

, .

2. Для любой случайной величины и любого положительного числа справедливо неравенство Чебышева

.

Доказательство проведем для случая, когда – непрерывная случайная величина. Пусть – плотность случайной величины , а , тогда

,

так как события и несовместны.

Итак,

,

то есть

.

Неравенство Чебышева доказано.

Для дискретных случайных величин неравенство Чебышева доказывается аналогично (вместо интегралов будут суммы рядов).

Следствие. Поскольку , то

.

3. Если – искомый потенциал, то он является решением задачи

при , ,

, .

Для решения краевой задачи воспользуемся методом Фурье. Нетривиальные решения уравнения Лапласа будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из краевых условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку , то общее решение уравнения имеет вид

.

Из краевого условия получаем: , т.е. . Из краевого условия получаем: . Поскольку , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

Собственные значения , ;

Собственные функции , .

Теперь при каждом решаем уравнение для :

: , .

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Краевые условия , дают:

:

; ; , ;

:

, .

Итак, для определения , , , получили системы

Решая их, получим

, ,

, , .

Тогда

,

, .

Окончательно, потенциал равен

.

Значение потенциала в центре квадрата со стороной , т.е. в точке , , равно

.

4. Для расчета вероятностей попадания нормальной случайной величины с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением в промежуток используется формула

,

где , причем – нечетная функция: .

Пусть случайная величина – масса пойманной рыбы. При г, г получим

.





Название статьи Экзаменационный билет № 20