Вернутся на главную

Полные и неполные изображения. Позиционные задачки


Полные и неполные изображения. Позиционные задачки на нашем сайте

Статьи
Статьи для студентов
Статьи для учеников
Научные статьи
Образовательные статьи Статьи для учителей
Домашние задания
Домашние задания для школьников
Домашние задания с решениями Задания с решениями
Задания для студентов
Методички
Методические пособия
Методички для студентов
Методички для преподавателей
Новые учебные работы
Учебные работы
Доклады
Студенческие доклады
Научные доклады
Школьные доклады
Рефераты
Рефератывные работы
Школьные рефераты
Доклады учителей
Учебные документы
Разные образовательные материалы Разные научные материалы
Разные познавательные материалы
Шпаргалки
Шпаргалки для студентов
Шпаргалки для учеников
Другое

1. Пусть на плоскости σ дано изображение F некоторой фигуры F'. Изображение F называется полным, если к нему можно присоединить изображение R аффинного репера так, что все точки, прямые и плоскости, определяющие фигуру F', будут заданными на плоскости σ. При этом точка M' считается заданной, если на плоскости σ даны ее аксонометрическая проекция М и одна из вторичных проекций, например М3. Прямая а' считается заданной, если заданы две ее точки или даны аксонометрическая и одна из ее вторичных проекций. Плоскость считается заданной, если заданы элементы, определяющие ее (три точки, не лежащие на одной прямой, две прямые или следы).

Легко видеть, что изображения многих плоских и пространственных фигур, (плоские n-угольники, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар), являются полными. Например, изображение ABCDA'B'C'D' параллелепипеда F0 на рисунке 3.5, б является полным. В самом деле, присоединим к нему изобра­жение (А, В, D, А') аффинного репера. Тогда все вершины параллеле­пипеда F0 окажутся заданными, так как для них однозначно определяются аксонометрические и вторичные проекции: (А, А), (В, В), (С, С), (D, D), (А', А), (В', В), (С', С), (D', D). Отсюда следует, что и все ребра и грани параллелепипеда окажутся заданными.

Можно доказать, что свойство изображения быть полным (или неполным) не зависит от выбора присоединенного изображения аффинного репера.

Рассмотрим примеры неполных изображений.

Пример 1. На рисунке 5.1, а изображен шестигранник SABCD. Это изображение не является полным, так как если, например, к нему присоединить изображение (А, В, С, S) аффинного репера, то точки А', B', С' и S' окажутся заданными, а точка D' нет (не определена ее вторичная проекция).

Рис. 5.1


Рис. 5.2

Рис. 5.3


Пример 2. На рисунке 5.2 изображен тетраэдр и прямая. Это изображение не является полным, так как если, например, к нему присоединить изображение (А, В, С, D) репера, то вершины тетраэдра A'B'C'D' окажутся заданными, а точки M' и N' нет (не определены их вторичные проекции).

Число точек, которые надо добавить к чертежу, чтобы неполное изображение сделать полным, называется коэффициентом неполноты данного изображения. В примере 1 коэффициент неполноты равен единице, так как если, например, к рисунку добавить точку К-изображение точки пересечения отрезка S'D' с плоскостью A'B'C' (рис. 5.1, б), то изображение станет полным; теперь вторичную проекцию точки D' легко построить: D3 есть точка пересечения прямой АК, с прямой, проведенной через точку D параллельно AS (рис. 5.1, б). В примере 2 коэффициент неполноты равен двум, так как, для того чтобы изображение сделать полным, можно, например, к рисунку 5.2, добавить точки М3 и N3 - вторичные проекции точек М' и N'.

Можно доказать, что понятие коэффициента неполноты не зависит от выбора присоединенного изображения аффинного репера.

2. Пусть и две фигуры пространства, а F1 и F2 - их изображения на плоскости σ, выполненные в одной и той же проекции. Задача построения изображения точек пересечения фигур и называется позиционной задачей. Такие задачи удобно решать, пользуясь методом аксонометрии. Отметим, что любая позиционная задача на полном изображении имеет вполне определенное решение и не содержит никакого произвола. Если же изображение неполное, то, решая позиционную задачу, некоторые элементы можно задать произвольно.

Рассмотрим пример решения позиционной задачи. При решении этой задачи, а также задач следующего параграфа мы не будем отличать точки оригинала (или прямые оригинала) от их аксонометрических проекций; их будем называть просто точками (прямыми). В соответствии с этим точки или прямые оригинала обозначаем теми же буквами (А, В, С, ...; а, b, с, ...), что и их аксонометрические проекции (а не A', В', С',..; а', b', с', ..., как это делалось выше).

Задача. Дано изображение пирамиды DABC и прямой, пересекающей ее грани ABD и BCD в точках М и N (рис. 5.3). Найти след прямой MN на плоскости основания ABC.

Решение. Присоединим к изображению данной пирамиды изображение (А, В, С, D) аффинного репера. Тогда все вершины пирамиды и точки М и N будут заданными, поэтому данное изображение является полным. Прямая MN лежит в плоскости DMN, поэтому след Х0 этой прямой лежит на следе р0 плоскости DMN, т.е. Х0- точка пересечения прямых MN и р0. Построим след р0 плоскости DMN. Прямые DM и DN пересекают плоскость основания пирамиды в точках M0 и N0, поэтому прямая р0 проходит через точки М0 и N0, т.е. совпадает с прямой M0N0. Таким образом, Х0=MN M0N0.

Интересно отметить, что эта задача решается только одной линейкой.





Название статьи Полные и неполные изображения. Позиционные задачи