Вернутся на главную

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ Аспекты


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ Аспекты на нашем сайте

Статьи
Статьи для студентов
Статьи для учеников
Научные статьи
Образовательные статьи Статьи для учителей
Домашние задания
Домашние задания для школьников
Домашние задания с решениями Задания с решениями
Задания для студентов
Методички
Методические пособия
Методички для студентов
Методички для преподавателей
Новые учебные работы
Учебные работы
Доклады
Студенческие доклады
Научные доклады
Школьные доклады
Рефераты
Рефератывные работы
Школьные рефераты
Доклады учителей
Учебные документы
Разные образовательные материалы Разные научные материалы
Разные познавательные материалы
Шпаргалки
Шпаргалки для студентов
Шпаргалки для учеников
Другое

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

Множество называется выпуклым, если с любыми двумя точками оно содержит отрезок, их соединяющий. Иначе это определение можно сформулировать так: множество выпукло, если точка при всех . На рис. 3.1.1 представлена геометрическая иллюстрация выпуклого и невыпуклого множеств.

Рис. 3.1.1. Геометрическая иллюстрация выпуклого (а) и невыпуклого (б) множеств

Пространство образует выпуклое множество. Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, удобно считать выпуклыми. Тогда из определения выпуклого множества следует, что пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Функция , определенная на выпуклом множестве , называется выпуклой на этом множестве, если выполнено неравенство

(3.1.1)

На рис. 3.1.2 в качестве примера приведен график выпуклой функции одной переменной . Выпуклую функцию можно определить как функцию,

Рис. 3.1.2. Пример выпуклой функции одной переменной

над графиком которой – выпуклое множество.

Функция называется вогнутой на выпуклом множестве , если функция выпукла на . Вогнутую функцию можно определить также как функцию, под графиком которой – выпуклое множество.

Существуют подклассы выпуклых функций. Так, функция , определенная на выпуклом множестве , называется строго выпуклой на , если и равенство в (3.1.1) имеет место только при и .

Функция называется строго вогнутой на выпуклом множестве , если функция строго выпукла на .

Например, функция одной переменной является одновременно выпуклой и вогнутой на , однако не является ни строго выпуклой, ни строго вогнутой.

Функция , определенная на выпуклом множестве , называется сильно выпуклой (сильно выпуклой с константой ) на , если выполнено неравенство

(3.1.2)

где , – евклидова норма (длина вектора):

(3.1.3)

Функция , определенная на выпуклом множестве , называется сильно вогнутой на этом множестве, если функция сильно выпукла на .

Функция, сильно выпуклая на множестве , является выпуклой и строго выпуклой на этом множестве.

Пример 3.1.1. Показать, что функция одной переменной сильно выпукла на .

Левая часть неравенства (3.1.2) в данном случае принимает вид:

. (3.1.4)

Вычитая выражение (3.1.4) из первых двух слагаемых правой части неравенства (3.1.2), получим:

Таким образом, неравенство (3.1.2) превращается в тождественное равенство при и, следовательно, функция является сильно выпуклой на с константой .

В практических задачах важное значение имеет выяснение наличия у исследуемых функций свойств выпуклых функций, либо их отсутствия.

Рассмотрим некоторые теоремы, которые могут быть использованы для проверки выпуклости функций.

Теорема 3.1.1

Пусть функции – выпуклы на множестве и числа неотрицательны. Тогда функция

выпукла на множестве . Читателю предлагается доказать эту теорему самостоятельно.

Теорема 3.1.2

Дана функция , обладающая следующими свойствами:

1) функция определена на множестве , – выпуклое множество;

2) функция выпукла по ;

3) функция ограничена сверху по .

Тогда функция выпукла на множестве .

Доказательство. Для любых точек и для любого можно записать:

Таким образом, неравенство (3.1.1) выполнено, и, следовательно, теорема доказана.

В случае функций одной переменной , рассматривая индекс в качестве аналога переменной из теоремы 3.1.2, завершающую часть формулировки этой теоремы можно записать в виде заключения о выпуклости функции

На рис. 3.1.3 представлены графики двух выпуклых функций одной переменной и . График, показанный сплошной линией, является графиком функции

,

которая согласно теореме 3.1.2 является выпуклой.

Теорема 3.1.3

Пусть функция выпукла на выпуклом множестве , а функция выпукла и монотонно не убывает на выпуклом множестве , причем . Тогда функция выпукла на множестве .

Рис. 3.1.3. Пример применения теоремы 3.1.2 для случая двух функций одной переменной

Доказательство. и можно записать:

(3.1.5)

Первое из приведенных неравенств справедливо на том основании, что, во-первых,

так как функция выпукла, и, во-вторых, что функция монотонно не убывает. Справедливость второго неравенства в (3.1.5) объясняется выпуклостью функции . Теорема доказана.

Применение рассмотренных теорем к решению практических задач продемонстрируем на следующем примере.

Пример 3.1.2. Выяснить, является ли выпуклой функция

Функция является выпуклой по теореме 3.1.2. Функция выпукла в соответствии с теоремой 3.1.1. Наконец, функция , где , является выпуклой по теореме 3.1.3. Таким обрзом, заданная в примере функция выпукла.

Следующую теорему читателю предлагается доказать самостоятельно.

Теорема 3.1.4

1. Пусть функция является строго выпуклой на выпуклом множестве . Тогда функция строго выпукла на .

2. Пусть функция является сильно выпуклой с константой на выпуклом множестве . Тогда функция сильно выпукла с константой на .

3. Пусть функция выпукла на выпуклом множестве , а функция сильно выпукла с константой на . Тогда функция является сильно выпуклой с константой на .

4. Пусть функция выпукла на выпуклом множестве , а функция строго выпукла на . Тогда функция является строго выпуклой на .

Заметим, что линейная функция является одновременно выпуклой и вогнутой на выпуклом множестве и что только линейные функции обладают таким свойством. При этом линейная функция не является ни строго выпуклой (вогнутой), ни сильно выпуклой (вогнутой). Всякая сильно выпуклая функция является строго выпуклой, но не наоборот. Например, функция строго выпукла на , но не является сильно выпуклой.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ





Название статьи ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ