Вернутся на главную

Плоскость. Аксиома. В декартовой системе координат любая плоскость определяется уравнением первой степени


Плоскость. Аксиома. В декартовой системе координат любая плоскость определяется уравнением первой степени на нашем сайте

Статьи
Статьи для студентов
Статьи для учеников
Научные статьи
Образовательные статьи Статьи для учителей
Домашние задания
Домашние задания для школьников
Домашние задания с решениями Задания с решениями
Задания для студентов
Методички
Методические пособия
Методички для студентов
Методички для преподавателей
Новые учебные работы
Учебные работы
Доклады
Студенческие доклады
Научные доклады
Школьные доклады
Рефераты
Рефератывные работы
Школьные рефераты
Доклады учителей
Учебные документы
Разные образовательные материалы Разные научные материалы
Разные познавательные материалы
Шпаргалки
Шпаргалки для студентов
Шпаргалки для учеников
Другое

Теорема. В декартовой системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени. И обратно: в декартовой системе координат каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство. Пусть существует произвольная плоскость . Пусть точка . Пусть задан вектор . Пусть – произвольная точка пространства с переменными координатами. Условие принадлежности точки М плоскости – это перпендикулярность векторов и :

.

Выразим условие принадлежности т. к плоскости через координаты векторов и .

Условие перпендикулярности векторов:

(*)

– это и есть уравнение плоскости , поскольку ему удовлетворяют только точки плоскости. Преобразуем его:

= 0 или

. (1)

Уравнение (1) – это общее уравнение плоскости. Таким образом, плоскость действительно определяется уравнением первой степени.

Докажем второе утверждение. Пусть дано произвольное уравнение первой степени (1): .

Пусть - решение данного уравнения .

Тогда равенство – тождество. (2)

Вычтем тождество (2) из уравнения (1), получим

. (3)

Это уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющей нормаль (см. уравнение (*)).

Уравнение (1) равносильно уравнению (3), т. к. они получаются друг из друга путем почленного вычитания тождества. Следовательно, уравнение (1) является уравнением той же плоскости. Теорема доказана.

Рассмотрим два общих уравнения плоскостей. Пусть они определяют одну и ту же плоскость (4)

Тогда нормали и коллинеарны, а, следовательно, коэффициенты уравнений пропорциональны: .

Умножим первое уравнение системы на и вычтем его из второго уравнения. Получим: .

Вывод. Если два уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны.





Название статьи Плоскость. Теорема. В декартовой системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени