Вернутся на главную

Проектное задание. Начально-краевые задачки для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводимости)


Проектное задание. Начально-краевые задачки для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводимости) на нашем сайте

Статьи
Статьи для студентов
Статьи для учеников
Научные статьи
Образовательные статьи Статьи для учителей
Домашние задания
Домашние задания для школьников
Домашние задания с решениями Задания с решениями
Задания для студентов
Методички
Методические пособия
Методички для студентов
Методички для преподавателей
Новые учебные работы
Учебные работы
Доклады
Студенческие доклады
Научные доклады
Школьные доклады
Рефераты
Рефератывные работы
Школьные рефераты
Доклады учителей
Учебные документы
Разные образовательные материалы Разные научные материалы
Разные познавательные материалы
Шпаргалки
Шпаргалки для студентов
Шпаргалки для учеников
Другое

Задание. Найти численное решение задачи вида

(34) (35) (36)

1) при помощи явной схемы МКР;

2) при помощи неявной схемы МКР.

Критерии оценки. При выполнении студентом обоих пунктов задания он получает оценку «пять». При невыполнении какого-либо из пунктов оценка снижается.

Найти решение с точностью до 0.0001 на отрезке времени T=1/g*, где . При использовании явной схемы предварительно определить условие ее устойчивости. При помощи средств пакета Maple построить графики функций где x*=0.6, t*=T/10, j=1,2,4. Сравнить результаты, полученные по явной и по неявной схемам МКР. Проверить правильность работы программы на тестовом примере:

Точным решением задачи является ряд

Расчет провести при

2.2. Явная схема МКР.

Для аппроксимации производной по времени используем одностороннюю разность . Действуя аналогично п.1.3, получим следующие вычислительные формулы

(39) (40)

Используя описанный в п.1.4 подход, находим, что для устойчивости построенной разностной схемы между шагами по временной и пространственной координатам должно иметь место соотношение

(41)

В случае принцип замороженных коэффициентов дает

(42)

Вычислительный процесс организуется в следующем порядке. После задания шага h по пространственной координате и определения шага t по времени ( в соответствии с (41)) находим значения функции u на нулевом слое по времени по формуле (40). Далее значения функции u определяются в цикле по времени по формулам (39) для .

2.3. Неявная схема МКР.

Поступая аналогично п.1.5, неявную схему МКР для задачи (2.4) запишем в виде

(43)

Задача (43) решается c применением метода прогонки на каждом слое по времени. Опишем по шагам алгоритм решения.

Шаг первый.Вычисление значений функции u на нулевом слое по времени по формуле .

Шаг второй( и последующие). Вычисление значений функции u на (j+1) –ом слое по времени ( j³0 ) из уравнений (43) в цикле по j при помощи метода прогонки. Для применения этого процесса перепишем (43) в виде (27), (28), введя обозначения

(44)

Кроме этого, из граничных условий в (2.10) имеем

(45)

Очевидно, параметры в (44), (45) удовлетворяют условиям (30), что делает возможным применение метода прогонки. Для каждого j = 0,1,2, … вычисление коэффициентов прямой прогонки происходит по формулам (31), а неизвестные определяются в ходе обратной прогонки по формулам (32).

Отметим, что, как и в случае волнового уравнения, неявная схема МКР является безусловно устойчивой.





Название статьи Проектное задание. Начально-краевые задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности)