Уравнения установившегося режима электронной сети. Уравнения узловых напряжений
Вернутся на главную

Уравнения установившегося режима электронной сети. Уравнения узловых напряжений


Уравнения установившегося режима электронной сети. Уравнения узловых напряжений на нашем сайте

Статьи
Статьи для студентов
Статьи для учеников
Научные статьи
Образовательные статьи Статьи для учителей
Домашние задания
Домашние задания для школьников
Домашние задания с решениями Задания с решениями
Задания для студентов
Методички
Методические пособия
Методички для студентов
Методички для преподавателей
Новые учебные работы
Учебные работы
Доклады
Студенческие доклады
Научные доклады
Школьные доклады
Рефераты
Рефератывные работы
Школьные рефераты
Доклады учителей
Учебные документы
Разные образовательные материалы Разные научные материалы
Разные познавательные материалы
Шпаргалки
Шпаргалки для студентов
Шпаргалки для учеников
Другое

Установившимся режимом (УР) электрической цепи при постоянных источниках тока и напряжения называют такое состояние, при котором ток в любой ветви и напряжение в любом узле остаются неизменными в течение сколь угодно длительного времени.

Линейными уравнениями УР наз-ся линейные алгебраические уравнения, описывающие УР цепей, содержащих только линейные пассивные элементы (R, X, L, C не зависящие от I и U в них) и постоянные по модулю и фазе источники тока.

При расчёте УР с помощью уравнений узловых напряжений известны сопротивления и проводимости всех пассивных элементов электрической сети. Кроме того, заданы постоянные величины всех источников тока во всех узлах, кроме балансирующего по P и Q, и все ЭДС, а также напряжение базисного узла. Необходимо определить напряжения n узлов и токи в m ветвях. Для простоты расчёта полагают что базисный и балансирующий узлы совпадают.

В общем случае при Uб 0 система уравнений узловых напряжений для сети постоянного тока имеет вид:

(1)

где - неизвестное узловое напряжение; n – число узлов сети;

- собственная проводимость к-го узла, равна сумме проводимостей всех ветвей, соединённых с узлом к;

- взаимная провод-ть взаимная проводимость узлов к и j;

- задающий ток к-го узла, равен алгебраической сумме токов источников, подключённых к узлу к. При наличии в цепи источников ЭДС в ток к-го узла Ik входит алгеб. сумма произведений ЭДС ветвей, соединённых с узлом к, на проводимость этих ветвей.

Для решения (1) необходимо принять один из узлов за базисный по напряжению и балансирующий по току (может быть один и тот же узел). Напряжение в этом узле Uб известно, а ток неизвестен и равен сумме токов остальных узлов. Токи в остальных узлах заданы, а напряжения неизвестны. Тогда

Матрицы собственных и взаимных проводимостей узлов и вектор-столбцы токов в узлах и узловых напряжений:

Общий случай в матричной форме:

(2)

Матричная форма записи для цепи переменного тока (все величины – комплексные числа):

.

При решении на ЭВМ уравнения узловых напряжений для сети перемен. тока приводят к сис-ме действительных ур-й порядка 2n, где n – число независимых узлов. Матрицы и вектор-столбцы комплекс. элементов представляют в виде сумм матриц и вектор-столбцов с действит. элементами:

(3)

или

В матричной форме

Для сети переменного тока (2) имеет вид:

тогда согласно (3) при Uб’’=0

Матрица собственных и взаимных проводимостей узлов Yу симметрична, т.е Ykj=Yjk. Её важнейшим свойством является большое количество нулевых элементов (слабая заполненность).

Матрица соединений ветвей и узлов (первая матрица инциденций) – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу узлов n+1, а число столбцов – числу ветвей m. Она обозначается следующим образом:

МΣ=

При этом номера строк i соответствуют номерам узлов, а номера столбцов j – номерам ветвей. Элементы данной матрицы могут принимать одно из трёх значений: mij=+1, если узел i является начальной вершиной ветви j; mij=-1, если узел i является конечной вершиной ветви j; mij=0, если узел I не является вершиной ветви j.

Матрица узловых проводимостей может быть определена следующим образом:

где МТ – транспонированная мат-ца соед-ний ветвей и узлов М;

ZВ и YВ – диагональные матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей.

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают УР эл. сис-мы при задании нелинейных источников тока (генераторы с заданной мощностью, либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью). Тогда узловой ток при заданной мощности нагрузки потребителя или генератора:

где Sk* =const - сопряжённая мощность трёх фаз к-го узла; Uk* - сопряжённый комплекс междуфазного напряжения; I – нелинейный ток.

При задании нагрузки статической характеристикой:

Нелинейные уравнения узловых напряжений при задании постоянной мощности нагрузки потребителей и генераторов в узлах для сис-мы перемен. тока:

Матричная форма записи:

где Yу – комплексная матрица собственных и взаимных узловых проводимостей; I(U) – вектор-столбец задающих токов, Uб – заданное напряжение балансирующего узла.

Ур-я узловых напряжений часто используются в форме баланса мощности. Узловые уравнения баланса мощности для системы переменного тока:

В матричной форме:

где - диагональная матрица, к-й диагональный элемент которой равен сопряжённому комплексу напряжения к-го узла; S* - вектор-столбец сопряжённых мощностей в узлах, к-й элемент которого равен заданной сопряжённой мощности к-го узла.

Нелинейные уравнения УР в общей форме можно записать в виде сис-мы неявных ф-ий:

W(X,Y)=0,

Где W – вектор-ф-я; X и Y – вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.


2.3 Методы Зейделя и Ньютона для решения уравнений УР.

Метод Зейделя относится к простейшему итерационному методу решения систем линейных уравнений УР. Рассмотрим простую итерацию для понимания сути применения итерационных методов.

Рассмотрим систему уравнений узловых напряжений третьего порядка:

(1)

Предполагая, что диагональные элементы не равны 0, разрешим первое Ур-е системы относительно U1, второе – относительно U2, третье – относительно U3. Получим эквивалентную (1) систему:

(2)

где Зададим начальные приближения неизвестных Подставим их в правые части (2), получаем первые приближения Вычисление первого приближения неизвестных соответствует первому шагу итерационного процесса. Полученные i-е приближения используются для расчёта последующих (i+1)-х приближений.

(3)

Введём матрицу и вектор-столбцы:

Диагональные элементы матрицы В равны 0, а недиагональные совпадают с коэффициентами систем (2) или (3). Учитывая правило умножения матриц запишем системы (2) и (3) в матричной форме:

(4)

Элементы матрицы В – безразмерные величины, а элементы вектора b имеют размерность напряжения.

Итерационный процесс, определяемый выражением (3) или (4), называется простой итерацией.

Метод Зейделя представляет собой незначительную модификацию простой итерации. Отличие заключается в том, что найденное (i+1)-е приближение (k-1)-го напряжения сразу же используется для вычисления следующего, k-го напряжения . Таким образом для (1) итерационный процесс метода Зейделя описывается след. выражением:

(5)

По методу Зейделя (i+1)-е приближение k-го напряжения вычисляется так:

(6)

Применение метода Зейделя для решения нелинейных ур-й узловых напряжений аналогично (6).

(7)

где - нелинейная функция, описывающая итерационный процесс Зейделя.

В расчётах на ЭВМ при замене комплексных переменных на действительные по методу Зейделя определяются активные и реактивные напряжения узлов:

(8)

где - составляющие комплексной нелинейной ф-ии , описывающей итерационный процесс Зейделя.

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений УР медленная. Для ускорения сходимости применяют ускоряющие коэффициенты, или метод неполной релаксации.

Обозначим напряжение k-го узла, определённое на (i+1)-ом шаге по обычным итерационным формулам (7). Ускоренное (i+1)-е приближение значения напряжения k-го узла определяется по формуле где - поправка по напряжению k-го узла на (i+1)-м шаге; t – ускоряющий коэффициент. Напряжение , вычисленное с ускорением, принимается в качестве исходного при расчёте следующего, (i+2)-го шага.

В случае t=1 получим обычный итерационный процесс метода Зейделя.

Основные достоинства метода: лёгко программируется и требует малой оперативной памяти.

Недостаток – в медленной сходимости. Особенно плохо сходится (в ряде случаев даже расходится) при расчёте УР систем с устройствами продольной компенсации, с трёхобм. трансформаторами и автотранс. и др.

Метод Ньютона.

Данный метод пригоден для решения обширного класса нелинейных ур-й.

Идея метода состоит в послед. замене на каждой итерации сис-мы нелин. ур-й некоторой лин. сис-мой, решение которой даёт более близкие к решению нелинейной сис-мы значения неизвестных, чем исходное приближение. Поясним идею на примере решения ур-я

(1)

Решение ур-я точка , в которой кривая проходит через 0. Зададим начальное приближение . Заменим (1) в окрестности точки линейным уравнением

(2)

левая часть – два первых члена разложения ф-ии в ряд Тейлора. Решив (2), определим поправку к начальному приближению:

(3)

За новое приближение неизвестного примем

(4)

Аналогично определяем следующие приближения:

Итерационный процесс сходится, если становится близкой к нулю или

(5)

где - заданная величина невязки.

Геометрическая интерпретация

Один шаг метода Ньютона сводится к замене кривой на прямую

которая является касательной к этой кривой в

точке . Поэтому метод наз-ют также методом касательных.

Приближение - точка пересечения касательной к кривой

в точке с осью x.

Сис-ма нелинейных ур-й с действительными переменными:

(6)

Запишем в матричной форме

(7)

где - вектор-столбец; - вектор функция.

Матрица Якоби (матрица производных сис-мы ф-ий по переменным ):

(8)

Сис-ма линеаризованных ур-й в матричном виде:

(9)

Решение узловых ур-й баланса мощности для к-го узла:

(10)

Уравнения баланса мощностей для k-го узла при переменных U и :

где

Матрица Якоби:

т.е элементы матрицы – это частные производные небалансов активной и реактивной мощностей по модулям и фазам напряжений узлов.

Решение ур-й узловых напряжений баланса токов для к-го узла:

Элементы матрицы Якоби – это производные активных и реактивных небалансов токов по активным и реактивным напряжениям узлов.

Таким образом, метод ньютона в расчёте УР сходится быстрее и надёжнее метода Зейделя. Но он требует больше памяти при расчёте на ЭВМ, чем метод Зейделя.


2-4. Регулирование напряжения в электрических сетях. Компенсация реактивной мощности.






Название статьи Уравнения установившегося режима электрической сети. Уравнения узловых напряжений